<TeXmacs|1.99.11>

<style|<tuple|base|french>>

<\body>
  <doc-data|<doc-title|Notes techniques>>

  <\subsection>
    <name|2d> vs. <name|3d>
  </subsection>

  L'intensité d'une source omnidirectionnelle <name|2d> diminue en
  <math|<frac*|1|R>>, et non en <math|<frac*|1|R<rsup|2>>>
  <math|\<rightarrow\>> ce n'est pas une source <name|3d>-isotrope, mais
  plutôt une source focalisée dans la direction <math|z> (comme un
  phare-fente) ou un barre lumineuse infinie dans la direction <math|z>.

  Conjecture : les résultats de la simulation sont les mêmes que en <name|3d>
  avec des objets infinis suivant <math|z>.

  <subsection|Angles modulo <math|<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>>>

  <\compact>
    De façon générale, on ne ramène jamais systématiquement les angles \S
    géométriques \T à <math|<around*|[|0,<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>|[>>
    ou <math|<around*|[|-\<pi\>,+\<pi\>|[>>, car cela casse les potentielles
    relations d'ordres entre les angles (e.g.
    <math|-0.1*\<pi\>\<leqslant\>\<theta\>\<leqslant\>+0.1*\<pi\>> n'est
    <em|pas> équivalent à <math|1.9*\<pi\>\<leqslant\>\<theta\>\<leqslant\>0.1*\<pi\>>,
    qui n'est jamais vrai). Exceptions :

    <\itemize-dot>
      <item>angles d'incidences : <math|i\<in\><around*|[|-<frac|\<pi\>|2>,+<frac|\<pi\>|2>|]>>
      systématiquement

      <item>angle du rayon, ramené à <math|<around*|[|0,<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>|[>>
      à chaque émission, pour éviter d'accumumuler des tours
    </itemize-dot>
  </compact>

  <subsection|Intersection segment / demi-droite>

  <\padded-center>
    <image|<tuple|<#[encoded data, 16852 characters]>|pdf>|0.55par|||>
  </padded-center>

  Segment d'extrémités <math|A> et <math|B> : <math|A*s+<around*|(|1-s|)>*B>
  pour <math|s\<in\><around*|[|0,1|]>>.

  Demi-droite portée par <math|<wide|u|\<vect\>><rsub|\<alpha\>>> d'origine
  <math|O> : <math|O+t*<wide|u|\<vect\>><rsub|\<alpha\>>> pour
  <math|t\<in\><around*|[|0,\<infty\>|[>>.

  Intersection :

  <\equation*>
    \<exists\>s<rsub|<text|i>>,t<rsub|<text|i>><space|1em>:<space|1em>A*s<rsub|<text|i>>+<around*|(|1-s<rsub|<text|i>>|)>*B<separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>O+t<rsub|<text|i>>*<wide|u|\<vect\>><rsub|\<theta\>><space|1em>\<Leftrightarrow\><space|1em><wide|B\<nospace\>A|\<vect\>>*s<rsub|<text|i>>+t<rsub|<text|i>>*<wide|u|\<vect\>><rsub|\<alpha\>>*<separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><wide|B\<nospace\>O|\<vect\>>
  </equation*>

  <\equation*>
    \<Longleftrightarrow\><space|1em>\<exists\>s<rsub|<text|i>>\<in\><around*|[|0,1|]>,t<rsub|<text|i>>\<in\><around*|[|0,\<infty\>|[><space|1em>:<space|1em><bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|a>-x<rsub|b>>|<cell|-x<rsub|\<alpha\>>>>|<row|<cell|y<rsub|a>-y<rsub|b>>|<cell|-y<rsub|\<alpha\>>>>>>>*<bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|<text|i>>>>|<row|<cell|t<rsub|<text|i>>>>>>>=<bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|o>-x<rsub|b>>>|<row|<cell|y<rsub|o>-y<rsub|b>>>>>>
  </equation*>

  En ignorant le cas où le segment et la demi-droite sont parallèles, il
  suffit de résoudre ce système linéaire. Si <math|s\<nin\><around*|[|0,1|]>>
  ou si <math|t\<less\>0>, alors il n'y a pas intersection. Sinon, le point
  d'intersection est <math|P=O+t<rsub|<text|i>>*<wide|u|\<vect\>><rsub|\<alpha\>>>,
  et l'angle d'incidence est <math|i=\<alpha\>-\<theta\><rprime|'>>, où
  <math|\<theta\>=\<angle\><wide|B\<nospace\>A|\<vect\>>> et
  <math|\<theta\><rprime|'>=\<theta\>-<frac|\<pi\>|2>>. L'angle de la normale
  est <math|\<theta\><rsub|<text|normale>>=\<theta\><rprime|'>+\<pi\>>.

  <subsection|Construction d'un arc de cercle à partir de
  <math|<around*|(|A,B,R|)>>>

  <\wide-tabular>
    <tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-valign|t>|<cwith|1|1|1|1|cell-rsep|20pt>|<table|<row|<\cell>
      Après translation de <math|-<wide|a|\<vect\>>> et rotation d'un angle
      <math|-\<theta\><rsub|0>>, on suppose que <math|A> est l'origine et que
      <math|B> est à la verticale de <math|A> (<math|x<rprime|'><rsub|B>=0>).
      Le centre <math|C> de l'arc de cercle voulu est l'intersection (de
      droite ici) des ceux cercles centrés en <math|A> et <math|B> de rayons
      <math|R>. On voit immédiatement que
      <math|y<rprime|'><rsub|C>=A\<nospace\>B/2>. Le centre <math|C> est
      finalement défini par la solution négative de
      <math|x<rprime|'><rsub|C><rsup|2>+y<rprime|'><rsub|C><rsup|2>=R<rsup|2>>,
      c'est-à-dire

      <\equation*>
        x<rprime|'><rsub|C>=-<sqrt|R<rsup|2>-y<rprime|'><rsub|C><rsup|2>>=-<sqrt|R<rsup|2>-<around*|(|A\<nospace\>B/2|)><rsup|2>><space|1em><text|définie
        si <math|A\<nospace\>B\<leqslant\>2*R>>
      </equation*>

      Pour obtenir <math|\<theta\><rprime|'><rsub|A>> et
      <math|\<theta\><rprime|'><rsub|B>>, on a simplement

      <\equation*>
        tan<around*|(|\<mp\>\<theta\><rprime|'><rsub|A,B>|)>=<frac|y<rprime|'><rsub|C>|-x<rprime|'><rsub|C>>=1/<sqrt|<around*|(|2*R/A\<nospace\>B|)><rsup|2>-1>
      </equation*>
    </cell>|<\cell>
      <image|<tuple|<#[encoded data, 10340 characters]>|pdf>||||>
    </cell>>>>
  </wide-tabular>

  On obtient finalement <math|\<theta\><rsub|A,B>=\<theta\><rprime|'><rsub|A,B>+\<theta\><rsub|0>>
  et <math|C> après rotation d'un angle <math|+\<theta\><rsub|0>> puis une
  translation de <math|+<wide|a|\<vect\>>>.

  <subsection|Intersection arc de cercle / demi-droite>

  <\padded-center>
    <image|<tuple|<#[encoded data, 28920 characters]>|pdf>|0.8par|||>
  </padded-center>

  On suppose que <math|\<theta\><rsub|A>\<less\>\<theta\><rsub|B>>. La
  distance <math|d=O\<nospace\>C> est non signée ici, et les angles ne sont
  pas absolus comme avec le segment, mais relatifs à l'axe
  <math|<wide|O\<nospace\>C|\<vect\>>> (on peut regarder la figure dans
  n'importe quel sens). L'arc est de rayon de courbure
  <math|R=C\<nospace\>A=C\<nospace\>B>. Clairement, si
  <math|<around*|\||\<alpha\>|\|>\<gtr\><frac|\<pi\>|2>> et <math|d\<gtr\>R>,
  il n'y a pas intersection.

  Pour le premier point d'intersection avec le disque (<math|P> ici),

  <\equation*>
    <wide*|d<phantom|<around*|\|||<right|.>>>tan
    \<alpha\>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|1>>+<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|2>>>=<wide*|<around*|(|+R*sin
    \<theta\><rsub|1>|)>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|1>>>+<wide*|tan
    \<alpha\>\<cdot\><around*|(|-R*cos \<theta\><rsub|1>|)>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|2>>><space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>b\<cdot\>sin<around*|(|\<alpha\>|)>=sin<around*|(|\<theta\><rsub|1>-\<alpha\>|)><space|1em><text|où><space|1em>b=<frac|d|R>
  </equation*>

  La demi-droite intersecte l'arc <math|<wide|A\<nospace\>B|\<invbreve\>>> si
  <math|\<theta\><rsub|1>> est défini, donc si<\footnote>
    On a alors <math|<around*|\||sin<around*|(|\<theta\><rsub|<text|t>>-\<alpha\><rsub|<text|t>>|)>|\|>=1>,
    d'où <math|\<theta\><rsub|<text|t>>=\<alpha\><rsub|<text|t>>\<pm\><frac|\<pi\>|2>>,
    d'où\ 

    <\equation*>
      cos \<theta\><rsub|<text|t>>=cos<around*|(|\<alpha\><rsub|<text|t>>\<pm\><tfrac|\<pi\>|2>|)>=\<mp\>sin<around*|(|\<alpha\><rsub|<text|t>>|)>=\<mp\><frac|R|d>
    </equation*>

    On peut retrouver cet angle <math|<math|\<theta\><rsub|<text|t>>>> en
    écrivant la condition de tengentialité rayon/cercle au point <math|P> :

    <\equation*>
      <bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|R*cos
      \<theta\><rsub|<text|t>>>>|<row|<cell|\<pm\>R*sin*\<theta\><rsub|<text|t>>>>>>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>O+t*<rigid|<wide|n|\<vect\>><rsub|\<theta\><rsub|<text|t>>>><rsup|\<bot\>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|-d>>|<row|<cell|0>>>>>+t*<bmatrix|<tformat|<table|<row|<cell|sin
      \<theta\><rsub|<text|t>>>>|<row|<cell|\<mp\>cos
      \<theta\><rsub|<text|t>>>>>>>
    </equation*>

    Pour <math|y>, on a <math|R*sin \<theta\><rsub|<text|t>>=-t*cos
    \<theta\><rsub|<text|t>>> donc <math|t=-R*sin
    \<theta\><rsub|<text|t>>/cos \<theta\><rsub|<text|t>>>. Alors, pour
    <math|x>, on a

    <\equation*>
      R*cos \<theta\><rsub|<text|t>>=-d+<around*|<left|(|-1>|-R*<frac|sin
      \<theta\><rsub|<text|t>>|cos \<theta\><rsub|<text|t>>>|<right|)|-1>>*sin*\<theta\><rsub|<text|t>><space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>R*cos<rsup|2>
      \<theta\><rsub|<text|t>>=-d*cos \<theta\><rsub|<text|t>>-R*sin<rsup|2>
      \<theta\><rsub|<text|t>><space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>cos
      \<theta\><rsub|<text|t>>=-<frac|R|d>*<around*|(|cos<rsup|2>+sin<rsup|2>|)>=-<frac|R|d>
    </equation*>

    Et puisque <math|sin<around*|(|arccos<around*|(|x|)>|)>=<sqrt|1-x<rsup|2>>>
    est indépendant du signe de <math|x>, on peut tout aussi bien prendre
    <math|cos \<theta\><rsub|<text|t>>=+R/d>.
  </footnote>

  <\wide-tabular>
    <tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-valign|t>|<table|<row|<\cell>
      <\compact>
        <\equation*>
          b*<around*|\||\<space\>sin<around*|(|\<alpha\>|)>|\|>\<leqslant\>1<space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em><around*|\||\<alpha\>|\|>\<less\>\<alpha\><rsub|<text|t>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>arcsin<around*|(|R/d|)>
        </equation*>

        lorsque <math|d\<gtr\>R>. Pour <math|d\<less\>R> (<math|O> à
        l'intérieur du cercle), il y a toujours une solution, évidemment.
      </compact>

      Pour le deuxième point d'intersection avec le disque, on a

      <\equation*>
        <wide*|d<phantom|<around*|\|||<right|.>>>tan
        \<alpha\>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|1>>+<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|2>>>=<wide*|<around*|(|+R*sin
        \<theta\><rsub|2>|)>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|1>+<decorated|2>+<decorated|3>>>-<wide*|tan
        \<alpha\>\<cdot\><around*|(|+R*cos
        \<theta\><rsub|2>|)>|\<wide-underbrace\>><rsub|<with|ornament-shape|rounded|padding-below|0.0fn|padding-above|0.0fn|ornament-vpadding|0.8spc|ornament-hpadding|0.8spc|<decorated|3>>>
      </equation*>

      <text-dots> ce qui revient au même :
      <math|b\<cdot\>sin<around*|(|\<alpha\>|)>=sin<around*|(|\<theta\><rsub|2>-\<alpha\>|)>>.

      Cette équation possède en effet, dans
      <math|\<theta\>\<in\><around*|[|0,<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>|[>>,
      nos<space|3em><line-break>deux solutions (courbes
      <math|\<theta\><around*|(|\<alpha\>|)>> bi-valuées).

      Au final, les solution sont

      <\equation*>
        <tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<theta\><rsub|1>=-arcsin<around*|(|b\<cdot\>sin<around*|(|\<alpha\>|)>|)>+\<alpha\>+\<pi\>>>|<row|<cell|\<theta\><rsub|2>=+arcsin<around*|(|b\<cdot\>sin<around*|(|\<alpha\>|)>|)>+\<alpha\>>>>>>
      </equation*>

      Pour <math|d\<gtr\>R>, la solution correcte est
      <math|\<theta\><rsub|1>> si <math|\<theta\><rsub|A>\<less\>\<theta\><rsub|1>\<less\>\<theta\><rsub|B>>,
      et sinon, éventuellement <math|\<theta\><rsub|2>> si
      <math|\<theta\><rsub|A>\<less\>\<theta\><rsub|2>\<less\>\<theta\><rsub|B>>.
      Pour <math|d\<less\>R>, la seule solution correcte est
      <math|\<theta\><rsub|2>> (et si on veut rester dans
      <math|<around*|[|0,<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>|[>>, on ajoute
      <math|<with|math-condensed|true|2*\<pi\>>> à <math|\<theta\><rsub|2>>
      pour <math|\<alpha\>\<less\>0>).

      Les angles d'incidence respectifs sont
    </cell>|<\cell>
      <image|<tuple|<#[encoded data, 53998 characters]>|pdf>|0.4par|||>
    </cell>>>>
  </wide-tabular>

  <\equation*>
    i<rsub|1>=<around*|(|\<pi\>-\<theta\><rsub|1>|)>+\<alpha\><space|1em><text|et><space|1em><tfrac|\<pi\>|2>=\<alpha\>+<around*|(|-i<rsub|2>|)>+<around*|(|<tfrac|\<pi\>|2>-\<theta\><rsub|2>|)><separating-space|0.2em>\<Leftrightarrow\><separating-space|0.2em>i<rsub|2>=\<alpha\>-\<theta\><rsub|2>
  </equation*>

  <subsection|Réflexion et réfraction sur une interface
  <math|n<rsub|1>\<rightarrow\>n<rsub|2>>>

  Réflexion :

  <\equation*>
    <text|toujours,<space|1em>avec un angle><space|1em>i<rsub|<text|r>>=i<space|1em>\<Rightarrow\><space|1em>\<alpha\><rsub|<text|r>>=\<theta\><rsub|<text|normale>>-i
  </equation*>

  Réfraction (transmission) :

  <\equation*>
    n<rsub|1>*sin<around*|(|i|)>=n<rsub|2>*sin<around*|(|i<rsub|<text|t>>|)><space|2em><stack|<tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|<text|toujours
    lorsque <math|n<rsub|1>\<leqslant\>n<rsub|2>>>>>|<row|<cell|<text|pour
    <math|i\<leqslant\>i<rsub|<text|cr>>=arcsin<around*|(|1/\<gamma\>|)>>
    lorsque <math|n<rsub|1>\<gtr\>n<rsub|2>>>>>>>><space|1em><text|avec><space|1em>\<gamma\>\<assign\><frac|n<rsub|1>|n<rsub|2>>
  </equation*>

  <\equation*>
    \<Rightarrow\><space|1em>\<alpha\><rsub|<text|t>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>\<theta\><rsub|<text|anti-normale>>+i<rsub|<text|t>><separating-space|0.4em>=<separating-space|0.4em><around*|(|\<theta\><rsub|<text|normale>>+\<pi\>|)>+arcsin<around*|<left|(|-1>|\<gamma\>\<cdot\>sin<around*|(|i|)>|<right|)|-1>>
  </equation*>

  Coefficients de réflexion en puissance (c'est juste
  <math|R=<around*|\||\<rho\>|\|><rsup|2>>) :

  <\equation*>
    R<rsub|<text|TE>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><around*|\||<frac|n<rsub|1>*cos
    i-n<rsub|2>*cos i<rsub|<text|t>>|n<rsub|1>*cos i+n<rsub|2>*cos
    i<rsub|<text|t>>>|\|><rsup|2><space|1em><text|et><space|1em>R<rsub|<text|TM>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><around*|\||<frac|n<rsub|2>*cos
    i-n<rsub|1>*cos i<rsub|<text|t>>|n<rsub|2>*cos i+n<rsub|1>*cos
    i<rsub|<text|t>>>|\|><rsup|2>
  </equation*>

  développés<\footnote>
    <\equation*>
      *i<rsub|<text|t>>=arcsin<around*|<left|(|-1>|<frac|n<rsub|1>|n<rsub|2>>*sin<around*|(|i|)>|<right|)|-1>><space|1em>\<Longrightarrow\><space|1em>cos<around*|(|*i<rsub|<text|t>>|)>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|<sqrt|1-\<gamma\><rsup|2>*sin<rsup|2>
      i>>|<cell|<text|si <math|i\<leqslant\>i<rsub|<text|cr>>>>>>|<row|<cell|\<mathi\><sqrt|\<gamma\><rsup|2>*sin<rsup|2>
      i-1>>|<cell|<text|si <math|i\<gtr\>i<rsub|<text|cr>>>>>>>>><space|1em><text|avec><space|1em>x=<frac|n<rsub|1>|n<rsub|2>>*sin<around*|(|i|)>
    </equation*>
  </footnote> :

  <\equation*>
    R<rsub|<text|TE>,<text|TM>>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|<frac|a-b|a+b>|)><rsup|2>>|<cell|<text|si
    <math|i\<leqslant\>i<rsub|<text|cr>>>>>>|<row|<cell|1<space|1em><stack|<tformat|<table|<row|<cell|<very-small|<text|(refl.<nbsp>int.<nbsp>tot.)>>>>>>>>|<cell|<text|si
    <math|i\<gtr\>i<rsub|<text|cr>>>>>>>>><space|1em><text|avec><space|1em><stack|<tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|a<rsub|<text|TE>>=\<gamma\>*cos
    i>>|<row|<cell|a<rsub|<text|TM>>=\<gamma\><rsup|-1>*cos
    i>>>>><space|1em><text|et><space|1em>b=<sqrt|1-\<gamma\><rsup|2>*sin<rsup|2>
    i>
  </equation*>

  Réflexion nulle (<math|a=b>) si :

  <\itemize-dot>
    <item><math|R<rsub|<text|TE>>=0<space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>cos<rsup|2>
    i+sin<rsup|2> i=1=\<gamma\><rsup|2><space|2em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>n<rsub|1>=n<rsub|2>>

    <item><math|R<rsub|<text|TM>>=0<space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>cos<rsup|2>
    i+\<gamma\><rsup|4>*sin<rsup|2> i=\<gamma\><rsup|2><space|1em>\<Longleftrightarrow\><space|1em>n<rsub|1>=n<rsub|2><space|1em><text|ou><space|1em>i=i<rsub|<text|Brewster>>=arctan<around*|<left|(|-1>|<frac|n<rsub|2>|n<rsub|1>>|<right|)|-1>>>

    <small|<\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<text|car><space|3em>R<rsub|<text|TM>>=0>|<cell|\<Longleftrightarrow\>>|<cell|cos<rsup|2>+\<gamma\><rsup|4>*sin<rsup|2><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>\<gamma\><rsup|2><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>\<gamma\><rsup|2>*cos<rsup|2>+\<gamma\><rsup|2>*sin<rsup|2>>>|<row|<cell|>|<cell|\<Longleftrightarrow\>>|<cell|<around*|(|1-\<gamma\><rsup|2>|)>*cos<rsup|2>=\<gamma\><rsup|2>*<around*|(|1-\<gamma\><rsup|2>|)>*sin<rsup|2>>>|<row|<cell|>|<cell|\<Longleftrightarrow\>>|<cell|\<gamma\>=1<space|1em><text|ou><space|1em>tan<rsup|2>=\<gamma\><rsup|-2>>>>>
    </eqnarray*>>
  </itemize-dot>

  Coefficients de transmission en puissance (ce n'est <em|pas><\footnote>
    Coefficients de réflexion en amplitude :

    <\equation*>
      \<rho\><rsub|<text|TE>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><frac|n<rsub|1>*cos
      i-n<rsub|2>*cos i<rsub|<text|t>>|n<rsub|1>*cos i+n<rsub|2>*cos
      i<rsub|<text|t>>><space|1em><text|et><space|1em>\<rho\><rsub|<text|TM>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><frac|n<rsub|2>*cos
      i-n<rsub|1>*cos i<rsub|<text|t>>|n<rsub|2>*cos i+n<rsub|1>*cos
      i<rsub|<text|t>>>
    </equation*>

    développés :

    <\equation*>
      \<rho\><rsub|<text|TE>,<text|TM>>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|<frac|a-b|a+b>>|<cell|<text|si
      <math|i\<leqslant\>i<rsub|<text|cr>>>>>>|<row|<cell|<frac|a-\<mathi\>*b|a+\<mathi\>*b><space|1em><stack|<tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-lsep|0pt>|<cwith|1|-1|1|-1|cell-rsep|0pt>|<cwith|1|-1|1|-1|cell-bsep|0pt>|<cwith|1|-1|1|-1|cell-tsep|0pt>|<table|<row|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|<very-small|<text|(de
      norme 1)>>>>>>>>>>>>>|<cell|<text|si
      <math|i\<gtr\>i<rsub|<text|cr>>>>>>>>><space|1em><text|avec><space|1em><stack|<tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|a<rsub|<text|TE>>=\<gamma\>*cos
      i>>|<row|<cell|a<rsub|<text|TM>>=\<gamma\><rsup|-1>*cos
      i>>>>><space|1em><text|et><space|1em>b=<sqrt|<around*|\||1-\<gamma\><rsup|2>*sin<rsup|2>
      i|\|>>
    </equation*>

    Coefficients de transmission en amplitude :

    <\equation*>
      \<tau\><rsub|<text|TE>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><frac|2*n<rsub|1>*cos
      i|n<rsub|1>*cos i+n<rsub|2>*cos i<rsub|<text|t>>><space|1em><text|et><space|1em>\<tau\><rsub|<text|TM>><separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em><frac|2*n<rsub|1>*cos
      i|n<rsub|2>*cos i+n<rsub|1>*cos i<rsub|<text|t>>>
    </equation*>

    développés :

    <\equation*>
      \<tau\><rsub|<text|TE>,<text|TM>>=<choice|<tformat|<table|<row|<cell|<frac|c|a+b>>|<cell|<text|si
      <math|i\<leqslant\>i<rsub|<text|cr>>>>>>|<row|<cell|<frac|c|a+\<mathi\>*b><space|1em><very-small|<text|(ampl.
      plasmon)>>>|<cell|<text|si <math|i\<gtr\>i<rsub|<text|cr>>>>>>>>><space|1em><text|avec><space|1em><stack|<tformat|<cwith|1|-1|1|-1|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|c<rsub|<text|TE>>=2*\<gamma\>*cos
      i>>|<row|<cell|c<rsub|<text|TM>>=2*cos
      i>>>>><space|2em>\<longrightarrow\><space|1em>T=<frac|n<rsub|2>*cos
      i<rsub|<text|t>>|n<rsub|1>*cos i>*<around*|\||\<tau\>|\|><rsup|2>
    </equation*>
  </footnote> juste <math|T=<around*|\||\<tau\>|\|><rsup|2>>) :

  <\equation*>
    T<separating-space|0.2em>=<separating-space|0.2em>1-R
  </equation*>

  par conservation de l'énergie. Ici, l'histoire d'angle de vue de
  l'interface ne rentre pas en compte, puisqu'on a seulement des rayons
  <math|\<rightarrow\>> l'intégration spatiale est déjà faite, et on manipule
  des <em|puissances>, pas des intensités. Cela est cohérent avec le fait
  d'oublier la formule de l'éclairement <math|\<cal-E\>=I*cos \<theta\>>.

  <subsection|Objets diffusants : BRDF>

  <slink|https://en.wikipedia.org/wiki/Bidirectional_reflectance_distribution_function>

  Propriété d'une <name|brdf> \S <name|2d> \T
  <math|f<around*|(|i,i<rsub|<text|r>>|)>> :

  <\itemize-dot>
    <item>réciprocité : <math|f<around*|(|i,i<rsub|<text|r>>|)>=f<around*|(|i<rsub|<text|r>>,i|)>><space|1em>(crucial
    pour avoir l'équivalence <name|2d> <math|\<leftrightarrow\>> <name|3d>
    <math|z>-invar. : les rayons \S perdus \T hors du plan sont compensés par
    tous rayons \S hors plan \T (venant des points <math|z\<neq\>0> des
    sources) réfléchis dans le plan)

    <item>positivité : <math|f<around*|(|i,i<rsub|<text|r>>|)>\<gtr\>0>

    <item>conservation de l'énergie : <math|<smash|<with|math-display|true|\<forall\>i,<separating-space|0.2em><big|int><rsub|-<frac|\<pi\>|2>><rsup|<frac|\<pi\>|2>>\<mathd\>i<rsub|<text|r>>
    f<around*|(|i,i<rsub|<text|r>>|)>=2\<pi\>>>> (les absorptions sont réglés
    avec la variable d'albédo dédiée)
  </itemize-dot>

  \;
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|page-medium|paper>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-2|<tuple|2|1>>
    <associate|auto-3|<tuple|3|1>>
    <associate|auto-4|<tuple|4|2>>
    <associate|auto-5|<tuple|5|3>>
    <associate|auto-6|<tuple|6|3>>
    <associate|auto-7|<tuple|7|4>>
    <associate|footnote-1|<tuple|1|2>>
    <associate|footnote-2|<tuple|2|4>>
    <associate|footnote-3|<tuple|3|4>>
    <associate|footnr-1|<tuple|1|2>>
    <associate|footnr-2|<tuple|2|4>>
    <associate|footnr-3|<tuple|3|4>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <with|par-left|<quote|1tab>|1.<space|2spc><with|font-shape|<quote|small-caps>|2d>
      vs. <with|font-shape|<quote|small-caps>|3d>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|2.<space|2spc>Angles modulo
      <with|font-family|<quote|rm>|<with|mode|<quote|math>|<with|math-condensed|<quote|true>|2*\<pi\>>>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|3.<space|2spc>Intersection segment /
      demi-droite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|4.<space|2spc>Intersection arc de cercle /
      demi-droite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|5.<space|2spc>Construction d'un arc de
      cercle à partir de <with|font-family|<quote|rm>|<with|mode|<quote|math>|<around*|(|A,B,R|)>>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|6.<space|2spc>Réflexion et réfraction sur
      une interface <with|font-family|<quote|rm>|<with|mode|<quote|math>|n<rsub|1>\<rightarrow\>n<rsub|2>>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|7.<space|2spc>Objets diffusants : BRDF
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>